PEMBELAJARAN MATERI PENENTUAN AKAR SUATU BILANGAN DENGAN CARA PEMFAKTORAN DI SMP (Sebuah Catatan PPL)

a.      Latar Belakang dan Alasan Pemilihan Masalah

Matematika seringkali diidentikkan dengan bilangan. Ketika kita berbicara matematika maka interpretasi masyakarakat umum adalah kita akan berbicara mengenai bilangan meskipun sebenarnya di dalamnya masih ada banyak pembahasan lainnya. Matematika dan bilangan menjadi sesuatu yang melekat erat.

Hal ini juga sesuai dengan tujuan pembelajaran matematika di sekolah. Dalam materi bilangan di sekolah terbagi menjadi beberapa sub bab. Mulai dari  operasi bilangan bulat, bentuk pangkat, menentukan akar bilangan bulat, hingga mengenai barisan dan deret. Dalam makalah ini tidak dibahas secara keseluruhan mengenai bilangan akan tetapi hanyalah pada sub-bab menentukan akar bilangan.

Materi ini merupakan sub topic operasi hitung bilangan bulat yang merupakan KD pertama untuk kelas VII semester 1. Kompetesi dasar tersebut adalah melakukan operasi hitung bilangan bulat dan pecahan. KD ini terbagi kedalam dua topik yakni operai hitung bilangan bulat dan operasi hitung bilangan pecahan. Di dalam operasi bilangan bulat ini termuat materi akar bilangan bulat yang akan dibahas dalam makalah ini.

Menentukan akar dari suatu bilangan mungkin bukanlah hal sulit bagi kita. Materi tersebut telah kita pelajari sejak di bangku sekolah dasar hingga saat ini. Ada banyak cara yang dapat kita gunakan untuk menentukannya antara lain dengan mengunakan pemfaktoran dan juga perkiraan. Dua cara inilah yang umumnya diajarkan di SMP. Akan tetapi berdasarkan pengalaman penulis saat melaksanakan kegiatan praktek pengajaran lapangan mayoritas siswa cenderung mengunakan metode menghafal. Mereka menghafalkan kuadrat dari suatu bilangan yang kemudian digunakan untuk menentukan akar dari bilangan kudrat tersebut. Begitupun dengan akar pangkat tiga dari suatu bilangan. Hal ini membatasi permasalahan-permasalahan terkait akar bilangan yang dapat diselesaikan oleh siswa.

Selain hafalan untuk menentukan akar suatu bilangan siswa di sekolah dasar diajarkan suatu cara yang terdapat di beberapa buku paket. Cara tersebut tidak terkait dengan materi perpangkatan yang dipelajari sebelumnya serta kurang jelas dasar dari aturan yang digunakan. Selain itu cara tersebut hanya dapat digunakan untuk menentukan akar suatu bilangan kuadrat, sedangkan di SMP selain akar kuadrat juga dipelajari materi mengenai akar pangkat tiga.

Oleh karena itu pada saat pembelajaran, siswa diajarkan bagaimana menentukan akar dari suatu bilangan dengan mengunakan cara menentukan faktorisasi primanya terlebih dahulu. Dengan cara ini diharapkan siswa dapat menyelesaikan berbagai bentuk akar suatu bilangan karena cara ini lebih umum. Dalam pembelajaran yang sudah dilakukan oleh penulis pada saat praktek Pengajaran lapangan, pada saat menjelaskan materi ini terdapat beberapa kesulitan. Kesulitan tersebut antara lain bagaimana untuk memahamkan siswa mengenai konsep akar ini yang merupakan kebalikan dari bentuk pangkat yang sudah dipelajari sebelumnya. Beberapa siswa kesulitan menetukan bentuk sederhana dari akar suatu bilangan terlebih ketika bilangan tersebut merupakan perkalian dari suatu bilangan yang berpangkat lebih dari akarnya.

Dalam makalah ini akan diuaraikan terkait permasalahan tersebut yang disertai dengan kesulitan yang dialami siswa dalam menentukan akar suatu bilangan berdasarkan pengalaman penulis. Makalah ini merupakan pengalaman penulis yang coba untuk dibagikan agar dapat menjadi sebuah pengalaman sekaligus menjadi bahan diskusi untuk dipecahkan bersama. Dengan demikian kedepannya pembaca dapat lebih cermat dalam mengajarkan materi ini sehingga seluruh siswa dapat memahami materi tersebut.

a.      Menentukan Akar Suatu Bilangan dengan Mengunakan Faktor

Menentukan akar suatu bilangan yang dimaksudkan disini adalah menentukan akar bilangan tersebut jika hasilnya bulat atau bentuk sederhananya untuk akar yang tidak bulat. Hal ini dikarenakan untuk siswa SMP ruang lingkup bahasannya pada SK-KD ini adalah bilangan bulat.

Dalam menentukan akar suatu bilangan dengan cara pemfaktoran ini konsep dasar yang perlu dipahami oleh siswa adalah bahwa akar merupakan kebalikan dari bentuk pangkat.

1.      Menetukan akar kuadrat suatu bilangan

Contoh :

Untuk menentukan akar dari bilangan tersebut terlebih dahulu kita tentukan faktorisasi dari bilangan yang diakar yakni 144.

144 = 2⁴ x 3²

2.      Menentukan akar pangkat tiga suatu bilangan

b.      Pembelajaran yang Dilakukan

Sebelum mempelajari materi tersebut siswa telah mempelajari materi mengenai bilangan berpangkat beserta sifat-sifatnya. Materi tersebut sangatlah penting untuk menentukan akar bilangan dengan mengunakan cara pemfaktoran. Hal ini dikarenakan dasar dari penentuan akar dengan cara pemfaktoran adalah pemahaman bahwasanya akar merupakan kebalikan dari bentuk pangkat. Oleh karenanya factor-faktor tersebut hendaknya juga dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat. Karena bentuk bilangannya berupa bilangan berpangkat, maka diperlukan pemahaman akan sifat-sifat bilangan berpangkat pula untuk memudahkan pengerjaan.

Setelah memahami materi mengenai bilangan berpangkat barulah siswa dibawa ke penentuan akar suatu bilangan. Dimulai dari akar suatu bilangan yang hasilnya kurang dari 10 dan bentuk pangkatnya. Dengan mengunakan bilangan yang relative kecil ini memudahkan siswa untuk menentukan bentuk pangkat sekaligus akarnya karena sebagian besar sudah dihafal. Hal ini dilakukan untuk memberikan pemahaman bahwasanya bentuk akar merupakan kebalikan dari bilangan berpangkat.

Jika prinsip dasar tersebut telah dipahami maka materi dilanjutkan ke penentuan akar suatu bilangan dengan cara pemfaktoran. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam menjelaskan materi tersebut antara lain :

1.      Contoh Menetukan akar kuadrat dari 324

    

Setelah ditentukan faktorisasi primanya, kemudian praktikan menjelaskan prosedur untuk mengeluarkan bilangan-bilangan tersebut dari tanda akar. Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya bahwa bentuk akar merupakan kebalikan dari bentuk pangkat, maka akar kuadrat merupakan kebalikan dari kuadrat. Dengan demikian setiap bilangan yang merupakan bilangan berpangkat dapat dikeluarkan dari tanda akar.

Untuk menambah kejelasan siswa, pada saat menjelaskan materi ini praktikan mengunakan istilah berpasangan. Dimana setiap bilangan yang memiliki pasangan dapat dikeluarkan dari tanda akar kuadrat dan diwakili oleh salah satunya (bukan bentuk kuadrat lagi). Kemudian bilangan-bilangan yang dapat dikeluarkan tersebut dikalikan untuk menentukan akarnya. Jika dalam kasus tersebut terdapat bilangan yang tidak memiliki pasangan maka ia tetap berada didalam tanda akar dan ikut dikalikan untuk hasil akhirnya.

Pada contoh diatas setiap bilangannya memiliki pasangan yakni 2x2, 3x3, 3x3. Oleh karenanya semuanya dapat dikeluarkan dari bentuk akar menjadi 2x3x3 yang nilainya sama dengan 18. Sehingga diperoleh niali 18 yang merupakan akar dari 324, atau .

2.      Menentukan akar pangkat tiga suatu bilangan

Untuk menentukan akar pangkat tiga dari suatu bilangan ataupun nilainya analog dengan cara menentukan akar kuadrat suatu bilangan. Perbedaan yang berlaku disini adalah pangkat bilangan yang dapat keluar dari tanda akar. Jika pada akar kuadrat setiap bilangan berpangkat dua yang dapat keluar dari tanda akar, maka pada akar pangkat tiga setiap bilangan yang berpangkat tigalah yang dapat dikeluarkan dari akar. Ilustrasi yang digunakan pun sama, hanya saja pada akar pangkat tiga ini setiap factor dikelompokkan dengan anggota masing-masing kelompok 3. Bilangan yang tidak memiliki 2 teman harus tetap berada dalam tanda akar.

Contoh    

Dari contoh ini hanya ada satu kelompok yang terdiri dari 3 bilangan yang sama yakni 3x3x3, maka bilangan lain yakni 2, 2 dan 3 tetap berada dalam tanda akar. Dengan demikian diperoleh .

c.       Permasalahan yang Dihadapi saat Membelajarkan Materi Tersebut

Dalam materi ini sebagian siswa dapat memahami materi yang diajarkan. Mereka sudah mengerti bahwa setiap factor yang berpangkat tiga dapat dikeluarkan dari akar (untuk akar pangkat tiga). Meskipun demikian masih banyak siswa yang kebingungan saat pertama kali dijelaskan. Akan tetapi setelah dijelaskan kembali sebagian telah paham dan sebagian lagi terkadang masih salah dalam mengerjakan. Mayoritas kesalahan-kesalahan ini muncul saat menentukan nilai dari akar pangkat tiga suatu bilangan. Kesalahan-kesalahan ini ada pula yang merupakan kesalahan sepele namun berakibat fatal.

Kesalahan tersebut adalah kesalahan akibat kurang memperhatikan tanda akar sehingga bilangan yang harusnya dicari akar pangkat tiganya malah dicari akar kuadratnya. Kesalahan seperti ini sering sekali ditemui oleh praktikan saat pertama kali siswa mempelajari akar pangkat tiga. Meskipun soal telah dituliskan dalam tanda akar pangkat tiga namun saat mengerjakan selanjutnya angka tiga dalam tanda akar sering kali lupa untuk dituliskan.

Kesalahan ini dapat diatasi dengan memberikan penekanan mengenai tanda akar dari keduannya. Penekanan ini hendaknya diberikan sejak awal pembelajaran karena meskipun sepele hal ini sangatlah vital. Misalnya saja kita ingin menetukan akar pangkat tiga dari 64. Akar pangkat tiga dari 64 adalah 2, akan tetapi jika siswa salah menuliskan tandanya sehingga mengira akar kuadrat hasilnya menjadi 8. Tentu hasilnya disini jauh berbeda. Oleh karenanya siswa harus lebih berhati-hati.

Selain itu kesalahan lain yang banyak dilakukan siswa adalah siswa berasumsi bahwa asalkan setiap bilangan berpangkat lebih dari akarnya maka ia dapat dikeluarkan dari tanda akar tanpa memperhatikan berapa banyak pasangan (kelompok) yang ada. Misalnya saja akar pangkat tiga dari 729. Faktorisasi prima dari 729 adalah 3x3x3x3x3x3 atau 3⁶. Dari sini ada saja siswa yang kemudian menyimpulkan akar dari 729 adalah 3. Tentu hasilnya jauh berbeda dari hasil yang seharusnya yakni 9. Kesalahan lain yang sejenis dengan contoh tersebut  adalah ketika hasilnya bukan bilangan bulat atau masih ada bilangan yang berada di dalam tanda akar. Misalnya , faktorisasi primanya 3x3x3x3 atau 3⁴. Kemudian siswa menjawab , bukannya .

Kedua kesalahan ini lebih sering dialami oleh siswa yang menuliskan faktorisasi primanya ke dalam bentuk pangkat. Untuk siswa yang menuliskannya dalam bentuk perkalian berulang cenderung menjawab dengan tepat nilai akar bilangan tersebut. Hal ini dimungkinkan terjadi karena siswa yang menuliskan factor-faktor bilangan tersebut kedalam sebuah perkalian berulang lebih mudah memahami makna berpasangan dan berkelompok dibandingkan dengan yang menuliskannya kedalam bentuk bilangan berpangkat. Siswa tersebut belum dapat mengubah konsep berpasangan dan berkelompok kedalam bentuk pangkat yakni bentuk pangkat dua dan pangkat tiga. Selain itu mereka cenderung kurang dapat memanipulasi bentuk pangkat tersebut untuk dipecah menjadi perkalian bentuk pangkat yang lebih kecil dengan menyesuaikan akarnya.

Dari paparan tersebut nampak bahwasanya masih diperlukan penguatan mengenai materi sifat bilangan berpangkat. hal ini diperlukan agar siswa lebih memahami makna dari bilangan berpangkat itu sendiri dan dapat mengunakannya dalam memecahkan masalah. Selain itu pada saat mengajarkan prosedur penarikan akar setelah difaktorkan, hendaknya siswa juga diberikan contoh dengan mengubah bentuk pangkat kedalam bentuk pangkat yang disesuaikan dengan akarnya.

Selain dari sisi siswa, kendala yang juga ditemui ketika membelajarkan materi akar ini juga muncul dari sisi guru dalam hal ini praktikan saat mengajar. Kendala yang dihadapi adalah bagaimana ilustrasi atau bahasa yang tepat untuk menjelaskan materi ini. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya ketika digunakan istilah kelompok/pasangan ada siswa yang kemudian salah memahami. Istilah ini kurang mengakomodir kemungkinan-kemungkinan pengerjaan siswa seperti ketika faktorisasi primanya dituliskan dalam bentuk bilangan berpangkat. Ketika akan digunakan pendekatan akar pangkat tiga sebagai bentuk pangkat 1/3, tentunya akan menimbulkan pertanyaan-pertanyaan lain dari siswa. Hal ini disebabkan perpangkatan bilangan yang sudah dipelajari sebelumnya masih berada pada ruang bilangan bulat sehingga pangkat dalam bentuk pecahan belum dipelajari. Oleh karenanya ketika akan digunakan pendekatan ini tentunya tidak sesuai dengan kemampuan siswa saat itu.

Dalam pembelajaran hendaknya juga memperhatikan kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki siswa. Dalam hal ini, kemampuan dasar yang mendukung pemahaman akan materi adalah perpangkatan bilangan. Oleh karenanya dalam pembelajaran ini perlu ditekankan mengenai materi bilangan berpangkat untuk lebih memudahkan siswa memahami materi seperti yang telah disebutkan sebelumnya. Selain itu, dalam menjelaskan hendaknya guru/praktikan mengunakan pendekatan bilangan berpangkat terlebih dahulu baru kemudian ilustrasi berpasangan atau berkelompok ini digunakan sebagai cara untuk lebih memperjelas materi. Langkah ini diperlukan agar siswa tidak terjebak saat ia menuliskan factor-faktor bilangan kedalam bentuk pangkat. Dengan cara ini siswa dapat memahami bahwa konsep berpasangan/berkelompok dalam hal ini sama artinya dengan berpangkat dua (berpasangan) atau berpangkat tiga (kelompok). Jadi sebelum menyimpulkan hasilnya siswa mampu menjabarkan bentuk pangkatnya terlebih dahulu.

a.      Kesimpulan

Menentukan akar suatu bilangan dengan cara pemfaktoran merupakan hal yang penting untuk dipahami oleh siswa. Prinsip-prinsip pengerjaan dengan metode ini akan digunakan dalam materi-materi selanjutnya. Selain itu metode ini merupakan metode yang dapat diguanakan secara umum. Akan tetapi dalam pelaksanaan pembelajaran masih ditemukan beberapa masalah seperti yang telah dibahas diatas. Berdasarkan pembahasan tersebut dapat disimpulkan :

1.      Sebelum mempelajari mengenai akar siswa harus benar-benar paham mengenai bentuk pangkat suatu bilangan dan sifat-sifatnya.

2.      Diperlukan penekanan mengenai sifat-sifat bilangan berpangkat dan bagaimana prosedur penarikan akar dari bilangan berpangkat.

3.      Dalam membelajarkan materi ini guru hendaknya juga memperhatikan tata bahasa yang tepat sebagai ilustrasi agar siswa mudah memahaminya dan tidak merasa binggung.